Juegos Evolutivos y la Dinámica de la Replicación

La teoría de los juegos, herramienta matemática muy utilizada en el modelamiento económico y en el análisis de las situaciones complejas, desarrollada inicialmente por James Waldegrave en 1713, aparecido en una obra del matematico Pierre Rémont de Monmort "Essay d’analyse sur les jeux de hazard", donde presenta por primera vez una solución del tipo de estrategia mixta.

http://www.emis.de/journals/JEHPS/Decembre2007/Bellhouse.pdf

Un modelo interesante en la teoría de los juegos es la dinámica de la replicación, donde en un conjunto poblacional N de agentes, estos buscan seguir la estrategia que les da la mejor ganancia, ocurren en el mundo real que los seres humanos buscamos replicar aquellas circunstancias que nos permiten acceder a mejores niveles de bienestar. al igual que las células que buscan las mejores condiciones de vida y replican estos. Si consideramos que existen las mismas condiciones para los "n" agentes del mercado, entonces estamos ante una situacion de simetría en la elección e información, así tenemos un juego G compuesto por las estrategias "s" que pertenecen al conjunto de estrategias de la población "S" y que son iguales para todos los agentes, estas entregan unas ganancias "E" de modo que podemos definir:

G[S,E,t] donde "t" es el tiempo.  Luego recordemos que si la población se considera homogenea, entonces las estrategias Si =  S1, S2,..Sn  son iguales en el tiempo "t".

Ahora supongamos que tenemos una proporción de la población "n" que elige jugar con la estrategia "st" de modo que:

$ \theta (S_t)= \frac{k* \theta_t}{n}=1-X-t$

$\theta (S^´_t)= \frac{k*\theta^´_t}{n}=X-t$

Ahora solo hay dos estrategias comunes a elegir Xt y 1-Xt.

Los pagos se definen:

$ E^´(S_t, \theta) = \sum (\theta_t)(E^´_t(s_t))$

$ E(S_t, \theta) = \sum (\theta_t)(E_t(s_t))$

Se define la ecuación de la réplica como:

$\theta^\bullet (s^´_t) = \theta (s^´_t) * [E(s^´_t)-E^´_t ] $

Un ejemplo para aclarar este  tipo de juego:

< Consideremos el siguiente caso donde de una Población N, el número de agentes de la muestra es "n" y ellos tiene un conjunto de estrategias:

$S = (s_t, s^´_t) $

con la siguiente matriz de pagos:

$ S(S_t,S^´_t) = {(3,3), (5,0), (0,5), (1,1)} $

luego formamos la matriz siguiente:

-------St-------S´t----

St----3,3 ------ 0,5 --

S´t---5,0 ------ 1,1 --  

Tenemos entonces los pagos (ganancias o pérdidas) para St y S´t:

$E^´(S^´_t)= 5*(1-X_t) + 1*X_t = 5 - 4X_t $ ..(1)

$E(S_t)= 3*(1-X_t) + 0*X_t = 3 - 3X_t $ ........(2)

Luego conformamos el pago promedio:

$ E_prom = \sum (X_t)*[(5- 4X_t)] +(1-X_t)*[(3-3X_t)]$ ....(3)

$ E_prom = -X^2_t - X_t +3 $

Finalmente, aplicando la ecuación de la réplica, tenemos de (1) y (3):

$X^\bullet_t = X_t * [(5-4X_t) -(-X^2_t -X_t +3)]  =  X_t[x^2_t -3X_t +2]$

Recordemos que:

$X^\bullet_t = \frac{dX}{dt} $  es la variación de la cantidad de proporción de agentes que eligen una estrategia de replicación.

Las posibles soluciones de trayectoria son:

X1=0,  X2=1, X3=2

Un análisis de estos resultados de manera gráfica (diagrama de fase) muestra que el eje "Xt" tiene dos puntos relevantes 0 y 1, luego tenemos que entre 0 y 1 la función es concava hacia arriba con punto crítico en 3/2.

¿Es estable alguno de estos puntos?  si reemplazamos por ejemplo "0" en el valor de:

$\theta (S^´_t)= \frac{k*\theta^´_t}{n}=X_t$ tenemos Xt=0

pero si reemplazamos "1" nos resulta que:

$\theta (S^´_t)= \frac{k*\theta^´_t}{n}=X_t = 1$

Luego:  $X_t=1=n$ entonces toda la población elige la estrategia S´. 

Los juego evolutivos son una alternativa para analizar diferentes estados de un proceso económico, John  Maynard Smith genetista y especialista en evolución biológica desarrolló este modelo en sus aplicaciones de la teoría de los juegos, en los procesos biológicos y el comportamiento de individuos en asociación, cuando estos tienen información simétrica.

http://www.dklevine.com/archive/refs4448.pdf