Sunday, May 24, 2009

¿Tiene límites los Sistemas Matemáticos? Acerca del Teorema de Gödel


Los sistemas matemáticas tienen un límite en cuanto a la demostrabilidad de la verdad o falsedad de sus enunciados, efectivamente, así lo demostró un eminente matemático austriaco; Kurt Gödel.
En 1931, el Dr. Kurt Gödel, publicó un artículo donde demostraba que para cualquier conjunto de axiomas siempre es posible hacer enunciados matemáticos y que a partir de esos axiomas, no se puede demostrar los deducidos. Así, para Gödel, es imposible elaborar jamás un conjunto de axiomas a partir de los cuales se pueda deducir un sistema matemático completo.
El Dr. Kurt Gödel nos muestra que la Verdad es finalmente una categoría superior a la demostrabilidad matemática.
Esto significa (en los modelos matemáticos que utilizan los economistas) que muchas de las situaciones modelables que ocurren a diario a los agentes económicos y en las cuales ellos están incursos, nunca alcanzaran la exactitud, sino un grado de precisión que dependerá de la complejidad o sencillez del modelo y de las variables elegidas para tales fines.
Hay que reconocer que el denominado Teorema de Gödel sólo es aplicable a sistemas deductivos, así; el sistema matemático más perfecto que podamos concebir, con un número finito de axiomas y de reglas de inferencia lógica-matemática, es incapaz por el teorema de Gödel, de probar la verdad o falsedad de enunciados que los agentes económicos, fuera del sistema, observamos a diario.
En 1931, el matemático austríaco Kurt Gödel, con sólo 25 años, publicó un artículo titulado Sobre proposiciones formalmente no decidibles en "Principia Mathematica" y en los sistemas relacionados. Allí demostraba que para cualquier conjunto de axiomas siempre es posible hacer enunciados pero que a partir de esos axiomas no pueden demostrarse. En ese sentido, es imposible elaborar jamás un conjunto de axiomas a partir de los cuales se pueda deducir un sistema matemático completo.
A modo de ejemplo, el Dr.Gödel utilizó una paradoja llamada la "paradoja del mentiroso", tratando de llevarla al lenguaje de las matemáticas; así podemos decir:"Esta afirmación es falsa" Si esta fuese verdadera, significa que la afirmación es falsa, pero esto contradice la afirmación. Ahora si la afirmación es falsa, entonces lo que esta escrito en rojo tiene que ser verdadera, con ello volvemos a una contradicción.
Resumiendo, entonces tenemos ante nosotros sistemas matemáticos incompletos, pero dentro de los límites de la lógica matemática, podemos utilizarlos como lenguaje para modelizar el comportamiento de los agentes económicos, sin embargo las verdades humanas no necesariamente siguen métodos deductivos para alcanzar el grado de verdad, esto hace que los economistas se esfuercen mucho mas con la complejidad de sus modelos, buscando acercarse asintóticamente a la verdad relativa.
Enlace a la Sociedad Kurt Gödel.

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