Las Finanzas Estocásticas en la Teoría

La teoría de las finanzas, ya tiene varios años en aplicación y si bien todavía es un conjunto de conocimientos relativamente jóven, muchos de estos conceptos se acercan al lado modelístico, desde donde se aprecian de manera resumida y como un reflejo de lo que ocurre en el mercado financiero.

Los modelos de la economía de las finanzas pueden clasificarse entre normativos (prescriptivos) y positivos (descriptivos); el modelo del Dr. Harry Markowitz (1952) ha sido uno de los primeros, explicando cómo un individuo debe elegir la cartera óptima, el modelo CAPM (Sharpe-Litner-Black) entre los segundos, busca  determinar a los precios de los activos de capital en el mercado financiero. El Dr. William Sharpe (1991)  aplica reglas para operar en condiciones de endeudamiento financiero, luego modelos como los de Black-Scholes (1973) y los de Eugene Fama (mercados eficientes) se acercan al uso de instrumentos estocásticos donde el determinismo queda rezagado a condiciones de mercado estáticos y de corte temporal (por lo general ex-post).

Un mercado financiero es ahora una institución formal, donde agentes demandantes y ofertantes realizan transacciones financieras en el tiempo. Este mercado tiene como finalidad adicional minimizar las fricciones que ocasionan las externalidades y las asimetrías del mismo, buscando así reducir los costos de transacción y alcanzando un precio óptimo en el tiempo.

El mercado financiero mueve obligaciones, que son instrumentos financieros crediticios con un valor de retorno en el tiempo, por ejemplo los bonos del tesoro, igualmente se mueven acciones, que son títulos de propiedad de renta variable, sin vencimiento en el tiempo. Otros instrumentos financieros como los derivados, las opciones, las divisas y las materias primas se negocian también en los mercados financieros.

Para Eugene Fama, en los mercados eficientes no existen condiciones para el Arbitraje,  este concepto significa las estrategias de negociación que asegura retornos libres de riesgo, osea que se puede con una pequeña inversión obtener utilidades infinitas. Existen tres condiciones para que pueda haber arbitraje en el mercado financiero:

- el mismo activo financiero no se negocia al mismo precio en otros mercados (no se cumple la ley del precio único)

- dos activos con identicos retornos financieros no se negocian al mismo precio

- los activos con precios futuros conocidos, se negocian a otros precios diferentes al valor esperado

El Rendimiento, es la medida de la cantidad de utilidad recibida (no toma en cuenta las ganancias o pérdidas), por el contrario el Retorno, es la medida del beneficio (que si toma en cuenta los resultados positivos o negativos) y se puede escribir como:

$Rt = ln (\frac{S1}{S0})$

donde Rt es el retorno, S1 es el valor del activo en el periodo "1" y S0 lo es en el periodo inicial o "0".

La Rentabilidad, es la tasa de retorno (tasa de cambio en el tiempo medido como porcentaje).  El Portafolio, es el conjunto de activos financieros que conforman la cartera de instrumentos financieros de los agentes que participan en el mercado.

En 1900, el matemático Louis Bachelier, escribió su tésis doctoral denominada La teoría de la Especulación (Universidad de la Sorbona - Francia), donde aplica el movimiento browniano al análisis de los precios de la bolsa de valores, note que el movimiento browniano se debe a una investigación empírica que desarrolló Robert Brown en 1828, sobre este fenómeno y su analisis en base a la teoría de las probabilidades.

En 1965, el Dr. Paul Samuelson, eminente economista-matemático, propone utilizar la teoría del movimiento browniano para estimar las tendencias de los precios de las acciones bajo el modelo:

$G_t - G_0 * e^{\sigma * W_t + vt}$

donde Gt  y Go son la representación del movimiento browniano económico y Wt es propio del movimiento browniano estandar. Samuelson comprendio que podía modelizar el comportamiento de los precios de las acciones, agregando ruido al modelo deterministico.

El modelo analizado por Myron Scholes y Fisher Black, complementado por Robert Merton (1973), se aplicó para la evaluación de los precios de las Opciones,  estas son derivados financieros bajo contratos que otorgan al comprador derechos sobre compra o venta de activos, a precios determinados a un fecha también determinada (vencimiento). 

La ecuación diferencial que inicialmente define el modelo es:

$ dS_t = \mu S_tdt + \sigma S_t dW_t $

donde: las letras griegas son las constantes  $ (\mu , \sigma) $  y St  para t=0 es la condición inicial.

Esta ecuación donde aparece la variable S asociada a una constante es de caracter geométrico, se resuelve mediante la integral de Itó y se obtiene:

$S_t = S_0 e^{(\mu - (\frac {\sigma^2}{2}) t} + \sigma W_t $

Las opciones pueden ser de dos tipos:

La Opción call da a su comprador el derecho (pero no lo obliga) de comprar un activo a un precio predeterminado en una fecha concreta. El vendedor de la opción call tiene la obligación de vender el activo en el caso de que el comprador ejerza el derecho a comprar.

La Opción put da a su dueño, el derecho (sin obligación)  a vender un activo a un precio predeterminado hasta la fecha del vencimiento. El vendedor de la opción put está obligado a comprar el activo si el tenedor de la opción (comprador del derecho de vender) decide ejercer su derecho.

La fórmula de Black-Scholes-Merton, contiene algunas imperfecciones, Sobre todo cuando hay que calcular la volatilidad de los precios de los activos;  pero esta volatilidad es de dos tipos: la histórica, propia de la secuencia temporal de los precios de los activos en el mercado y la implícita, proveniente de la variación del calculo en la fórmula, aquí Merton propone utilizar las varianzas en función del tiempo.

Una manera mucho mas amplia y analíticamente adecuada para la modelización del mercado financiero, son los procesos estocasticos conocidos como semimartingalas, donde una de las ventajas es la estabilidad, que se consigue cambiando la variable de la probabilidad, evitando la dependencia. ¿Pero que significa una semimartingala? Pues bien, primeramente diremos que una Martingala, es un proceso estocástico que evoluciona de manera equilibrada sin tendencia, por ello su valor esperado (E) tiende a ser siempre constante, una semimartingala alcanza esta condición, cuando siendo estocástica contiene un proceso de poisson, lo que la hace medible y permite calcular sobre ella.

Las finanzas actuales hacen uso de las ecuaciones diferenciales estocásticas para la evaluación de procesos de compra y venta de activos (financieros  y/o productos primarios).

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