El Poder de Compra y el Óptimo del Consumidor

En Teoría microeconómica se evalúa la capacidad del consumidor para decidir entre dos bienes alternativos y así conseguir racionalmente una condición óptima que le permita la mejor distribución de sus ingresos disponibles. Recordemos algunos conceptos de la teoría del consumidor.

Si consideramos que el agente consumidor debe de elegir entre dos bienes X1 y X2, que cumple con la condición de la recta presupuestaria:

$$ Y = x_1*p_1 + x_2*p_2 $$

Ahora si consideramos que el nivel de Utilidad del agente consumidor es U.f donde f es una función monótona y sus transformaciones son ordinales, entonces podemos proponer:  $U=(X_1,X_2)$

Dada la condición de tangencia en el punto A del gráfico, podemos proponer la aplicación del método de Kuhn-Tucker para encontrar el valor óptimo como sigue:

$max_(x_1,x_2) U(X_1,X_2)$

sujeto a la condición: $ Y = x_1*p_1 + x_2*p_2 $

para valores positivos $X_1, X_2 \geq 0 $

La solución de este conjunto de ecuaciones se consigue bajo la construcción de la función Lagrangeana como sigue:  $$ max_(x_1,x_2)  L = U(X_1,X_2) + \lambda (Y - x_1*p_1 - x_2*p_2) $$

Al desarrollar el método de los multiplicadores lagrangeanos tenemos:

$\frac{\partial L}{\partial x_1}=\frac{\partial U}{\partial x_1} - \lambda*p_1 \leq 0$

$\frac{\partial L}{\partial x_2}=\frac{\partial U}{\partial x_2} - \lambda*p_2 \leq 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda}= Y - x_1*p_1 - x_2*p_2$

Podemos entonces evaluar varios casos, como sigue:

1) Si $\lambda, X_1, X_2 \geq 0$

$\frac{\partial U}{\partial x_1} - \lambda*p_1 = 0$

$\frac{\partial U}{\partial x_2} - \lambda*p_2 = 0$

$Y - x_1*p_1 - x_2*p_2 = 0$

Recordemos que $\frac{\frac{\partial U}{\partial x_1}}{\frac{\partial U}{\partial x_2}}$ = T.M.S

(T.S.M = Tasa Marginal de Sustitución) y que de los multiplicadores lagrangeanos es:

$$ T.S.M = \frac {p_1}{p_2}$$

Podemos decir también que: $\frac{\frac{\partial U}{\partial x_1}}{\frac{\partial U}{\partial x_2}}= \frac {p_1}{p_2}$

ó

$\frac{1}{p_1}*\frac{\partial U}{\partial x_1} = \frac{1}{p_2}*\frac{\partial U}{\partial x_2}$

en el óptimo, la compra de una unidad del bien $X_1$ satisface al agente consumidor con el mismo nivel de utilidad que si comprase una unidad del bien $X_2$, esto significa que la relación óptima de combinación de bienes ocurre cuando esta iguala a los precios relativos ($\frac{p_1}{p_2}$) $\frac{1}{p_k} es el poder de compra de una unidad monetaria del bien "k"

Si hubiese una variación en el precio  $p_1$  de modo tal que tuviésemos: $p_1 +\delta p_1$,  en el equilibrio la relación de precio $\frac{p_1+\delta p_1}{p_2}$  nos muestra que puede existir un valor $\frac{\delta p_1}{p_2}$,  que mueve el punto de equilibrio inclinando la recta presupuestaria en un valor similar $\frac{\delta p_2}{p_1}$, para mantener el equilibrio de la recta presupuestal, dado que se mantiene el ingreso fijo, pero saliendo de la condición de optimalidad inicial.

El teorema utilizado ha sido el teorema de Lagrange que dice:
Sean f y g funciones con primeras derivadas parciales contínuas y tales que f  tiene un extremo en el punto $(x_0,y_0)$  sobre una curva suave de ligadura  $g(x,y)=c, si   \nabla g(x_0,y_0) \neq 0$   existe un número real    $\lambda$  tal que: $\nabla g(x_0,y_0) = \lambda \nabla g(x_0,y_0)$
*Microeconomic Theory* Andreu Mas-Collel , Michael D. Winston & Jerry R. Green, Oxford Press 1995.